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I Frattali
Frattale di Mandelbrot Un
frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua
struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia
aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa
caratteristica è spesso chiamata auto-similarità (self-similarity).
Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot,
e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il
termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate
dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos, e sono spesso descritti in modo ricorsivo da equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'insieme di Mandelbrot è la seguente:
an+1 = an2 + P0
dove an e P0 sono numeri complessi.
esempio di frattale
Frattali e natura La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda. Scrive Mandelbrot: "Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta".
evidente natura frattale di un cavolfiore
A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Una curva piana, infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione del tipo f(x(t) , y(t)) = 0 che
descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo t. La
costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su
un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non
necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la
curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola: la
procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ad ogni
iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per
approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano
non è più in grado di distinguere le modifiche (oppure l'hardware del
computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti):
pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può
fermare dopo un congruo numero di iterazioni. Alla base dell’auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamata omotetia che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, detta omotetia interna.
esempio di aurosimilarità a diverse scale
La
dimensione frattale (o dimensione di Hausdorff) è un parametro
molto importante che determina il "grado di irregolarità"
dell'oggetto frattale preso in esame. Mandelbrot
nel suo libro intitolato “Gli oggetti frattali” pubblicato
nel 1975 afferma l’esistenza di differenti metodi per misurare la
dimensione di un frattale, introdotti, quando il matematico si cimentò
con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna.
Tra questi, il seguente: Si fa avanzare, lungo la costa un compasso di apertura prescritta h e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell’apertura h moltiplicato per il numero di passi mi fornirà la lunghezza approssimativa L(h) della costa; tuttavia rendendo l’apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno e la lunghezza tenderà all’infinito. Questa è, infatti, una delle principali proprietà dei frattali, cioè di essere figure geometriche per le quali, ad ogni passo successivo, il perimetro aumenta mentre l'area diminuisce. Esiste un algoritmo molto potente per determinare la dimensione di un frattale, sotto determinate condizioni: l'analisi DFA (Detrended Fluctuation Analysis). Questo metodo è ampiamente descritto nella sezione "ricerca -> econofisica" del mio sito, dove è presente anche il file sorgente in linguaggio C.
L'analisi del CASO Mandelbrot
afferma che la costa è stata modellata nel corso del tempo da
molteplici influenze. La situazione si presenta così complicata perché
in geomorfologia non si conoscono le leggi che governano queste
influenze. Possiamo quindi affermare che il caso occupa un ruolo
rilevante e tuttora l’unico strumento capace di fornire una soluzione
al problema è la statistica. Il
caso può generare irregolarità ed è capace di generare
un’irregolarità talmente intensa come quella delle coste, anzi in
molte situazioni è difficile impedire al caso di andare al di là delle
nostre aspettative. Il caso non deve essere sottovalutato nello studio degli oggetti frattali in quanto l’omotetia interna fa sì che il caso abbia precisamente la stessa importanza a qualsiasi scala. Per tanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto dei sistemi dinamici caotici. Nel corso della storia molti matematici sono arrivati alle loro scoperte inaspettatamente. Lo stesso Mandelbrot afferma di essere arrivato alle sue scoperte per puro caso. Un giorno egli si trovò nella biblioteca dell’IBM dove molti libri che nessuno aveva mai letto stavano per essere spediti al macero. Benoit aprì una rivista a caso e lesse il nome del meteorologo Richarson. Questo nome era già noto al matematico polacco per gli studi che stava effettuando sulla teoria della turbolenza. Richarson era uno studioso bizzarro ed eccentrico che era solito porsi domande che nessuno altro avrebbe mai formulato. Queste sue stramberie risultarono nell'anticipare scoperte che alcuni studiosi realizzarono nei decenni successivi. Nel libro Richarson si preoccupò di misurare la lunghezza delle linee costiere su scale differenti. Mandelbrot fotocopiò il disegno che descriveva queste misure e lasciò il libro dove si trovava per riprenderlo il giorno seguente, ma il libro sparì. Il disegno servì al matematico per formulare la teoria dei frattali perché faceva riferimento a qualcosa che noi tutti conosciamo, le coste. Mandelbrot si rese così conto che tutti gli studi effettuati da lui stesso avevano qualcosa in comune seppur spaziavano in discipline completamente differenti. Il modello di partenza era lo stesso: Mandelbrot si preoccupò di definire l’apparente caos insito in essi.
Frattali lineari I
frattali lineari sono quelli la cui equazione generatrice
contiene solo termini del primo ordine, e quindi si ha un algoritmo di
tipo lineare. Questa
macchina funziona più o meno come una normale fotocopiatrice con
variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più
lenti di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale
collocato sulla macchina. Il modo in cui l' immagine viene spostata e ridotta è determinato dall'algoritmo. Mediante un meccanismo di feedback l'immagine è elaborata ripetutamente, e tende via via a una forma frattale.
Esistono
diversi tipi di frattali non lineari, la cui equazione
generatrice è di ordine superiore a 1. La
teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la
prima volta nel 1918 dal matematico francese Gaston Julia, che si
trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite
riportate durante la prima guerra mondiale. Tanto le sue ricerche quanto
quelle contemporanee del suo accanito rivale Pierre
Fatou, e basate sul comportamento della trasformazione g(z)
= z2 + c,
furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte di Benoît
Mandelbrot. L'impresa intellettuale di Julia e Fatou è particolarmente notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità intrinseche di visualizzazione.
I
frattali finora esaminati possono essere considerati deterministici.
Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado,
possano aiutarci a produrre immagini frattali, essi non hanno alcun
effetto sulla forma frattale finale. La situazione è ben diversa per
un'altra classe di frattali, i cosiddetti frattali aleatori. Per
generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo
giacente su un piano arbitrario. I
punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il
triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun
punto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo
stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e
il processo è ripetuto all’infinito. All’aumentare del numero delle
iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di
particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi»,
l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge
di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una
buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il
modello. Per
un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni
usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti
medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del
genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo. Per
rappresentare invece una superficie accidentata, come ad esempio la
topografia di una catena montuosa, è meglio far diminuire di poco
l’entità degli spostamenti a ogni iterazione. Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell’erosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di faglia. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.
Tratto da Wikipedia, l'enciclopedia libera 14/10/2007
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